Hochschule Bremen Fachbereich E-Technik & Informatik
Vorkurs-Test Prof. Dr. Th. Risse
Sinn & Zweck Der Vorkurs-Test erlaubt Studienanf¨angern, ihre mathematischen F¨ ahigkeiten (ist) mit den vorausgesetzten F¨ ahigkeiten (soll) zu vergleichen. Studienanf¨anger sind gehalten, offensichtliche Defizite auszugleichen. Der Vorkurs soll gerade dies unterst¨ utzen.
c 2001–2003
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¨ Letzte Anderung: 12. September 2007
Version 0.4
Inhaltsverzeichnis 0. Vorbemerkung 0.1. Zielsetzung des Tests 0.2. Test-Niveau und Test-Verlauf 0.3. Online-Test 1. Arithmetik und Algebra 1.1. Bruch-Rechnung 1.2. Prozent-Rechnung 1.3. Potenz-Rechnung 1.4. Logarithmen 1.5. algebraische Ausdr¨ ucke 1.6. symbolische Ausdr¨ ucke 1.7. Gleichungen
Inhaltsverzeichnis (Forts.)
1.8. Ungleichungen 2. Geometrie 2.1. geometrische Objekte der Ebene 2.2. geometrische Objekte im Raum 3. Diverses 4. Auswertung
3
Abschnitt 0: Vorbemerkung
4
0. Vorbemerkung 0.1. Zielsetzung des Tests Jede(r) Studierende kann mit Hilfe dieses Tests seine St¨arken und Schw¨ achen in Mathematik herausfinden: diejenigen, die den Test ohne Schwierigkeiten erfolgreich absolvieren, k¨ onnen sich beruhigt um andere Dinge k¨ ummern. Diejenigen, die in diesem Test Schwierigkeiten haben oder gar nicht erfolgreich sind, sollten sich aktiv darum k¨ ummern, ihre L¨ ucken zu schließen. Sie k¨ onnen sich einfach alte Mathematik-Schulb¨ ucher vornehmen und die offensichtlichen Defizite ausgleichen, sich mit zuk¨ unftigen Kommilitonen zusammentun, um gemeinsam Vergessenes zu reaktivieren, oder an dem der an der Hochschule Bremen im Fachbereich E-Technik & Informatik angebotenen Vorkurs teilnehmen. Der Test hilft Ihnen also festzustellen, ob Sie f¨ ur Ihr Studium ausreichende mathematische Vorkenntnisse mitbringen. Etwaige Defizite m¨ ussen Sie selber ausgleichen – ganz gleich ob eigenst¨andig, zusammen mit anderen, zu Hause oder im Vorbereitungskurs.
Abschnitt 0: Vorbemerkung
5
0.2. Test-Niveau und Test-Verlauf Die Test-Aufgaben in den folgenden Abschnitten stammen aus Bereichen wie Algebra und Geometrie und haben Mittelstufen-Niveau. Nehmen Sie sich zur Bearbeitung Papier und Bleistift und zwei Stunden Zeit (Wecker), notieren Sie sich Zwischenergebnisse, und ermitteln Sie am Schluß Ihre pers¨onliche Test-Empfehlung. Nur wer u ¨ber die auf diesem Niveau grundlegenden mathematischen F¨ahigkeiten verf¨ ugt, kann effizient und erfolgreich studieren. ugung. F¨ ur fortgeschrittene Liebhaber steht gourmet.pdf zur Verf¨
0.3. Online-Test Neben anderen Dokumenten ist dieser Test online unter www.weblearn.hs-bremen.de/risse/MAI/docs/ als pdf-Datei vorkurs.pdf verf¨ ugbar. Zum Lesen, zur Ausf¨ uhrung, eben zum browsen ist Acrobat Reader in der Version 4.0 oder besser notwendig, den Sie von http://www.adobe.com downloaden k¨onnen.
Abschnitt 1: Arithmetik und Algebra
6
1. Arithmetik und Algebra Unverzichtbare F¨ahigkeiten sind der Umgang mit Br¨ uchen (K¨ urzen, Erweitern, Grundrechenarten), Prozent-Rechnung, Potenz-Rechnung (Grundrechenarten, Vereinfachen), Umgang mit Ausdr¨ ucken (Ausmultiplizieren, Ausklammern, Vereinfachen), Umgang mit Gleichungen (Aufl¨osen, L¨osen), usw. Ohne diese fundamentalen F¨ ahigkeiten ist es nicht einmal denkbar, naturwissenschaftliche Sachverhalte der Physik, Elektrotechnik, Regelungstechnik, Algorithmik, usw. zu vermitteln: eine Ausbildung in Informatik oder Ingenieurwissenschaften ist dann einfach nicht m¨oglich. Einfachste Rechnungen sind dabei nicht nur sicher (=korrekt) sondern auch in angemesseener Zeit (=schnell) durchzuf¨ uhren!
Abschnitt 1: Arithmetik und Algebra
7
1.1. Bruch-Rechnung K¨ urzen Sie die folgenden Br¨ uche soweit als m¨oglich. 1.
2 6 1 3
1 4
1 8
2 6
6 10
4 5
2 3
1 3
150 27
120 27
90 4
40 9
4.
−18 15 9 −5
6 −5
−8 5
5.
−9 5 121 −187 11 17
−9 11
13 −17
−11 17
2. 3.
12 15
360 81
Abschnitt 1: Arithmetik und Algebra
8
Erweitern Sie die folgenden Br¨ uche, so daß sich der angegebene (Haupt-) Nenner ergibt. 1. Erweitere
2 6
zum (Haupt-) Nenner 36
2 6
2 36
2. Erweitere
12 15
72 90 7 9
−110 385
5.
12 −16
80 90
12 15
zum (Haupt-) Nenner 405 170 405
45 405
4. Erweitere
12 36
zum (Haupt-) Nenner 90
60 90
3. Erweitere
1 36
−2 7
35 405
315 405
zum (Haupt-) Nenner 385 770 −385
35 −385
−77 385
15 −28
−11 28
zum (Haupt-) Nenner 28 −21 28
−24 28
Abschnitt 1: Arithmetik und Algebra
9
Berechnen Sie Summe und Differenz von Br¨ uchen und k¨ urzen Sie soweit als m¨ oglich. 1. 2. 3. 4. 5.
2 6
7 8 9 14
+
12 5
−
29 24
41 36
58 48
5 2
4 60
15 12
17 45
20 48
67 24
17 14
−6 14
−77 385
−24 16
15 −12
−11 28
7 3
1 15 7 13 6 + 8 45 24 3 −2 + 2 7 −17 28 12 16 −16 − −12 7 12
Abschnitt 1: Arithmetik und Algebra
10
Berechnen Sie das Produkt und den Quotienten von Br¨ uchen und k¨ urzen Sie das Ergebnis soweit als m¨oglich.
3.
7 8 9 11 12 7 −5 · 3 84 −15 7/6 13/8
91 48
48 91
39 28
4.
28 39 3/2 −2/7
− 37
−6 14
−5 9
5.
−21 4 12/16 −16/12
−23 32
−9 16
−1
1. 2.
2 3
·
− 144 256
14 24
7 12
11 9
− 35 24
− 58
− 28 5
Abschnitt 1: Arithmetik und Algebra
11
1.2. Prozent-Rechnung Br¨ uche durch Prozent ausdr¨ ucken und umgekehrt, Anteile als Bruch oder in Prozent angeben ... 1. Wieviel Prozent sind
1 8
?
80% 24% 12.5% 2. Welcher Anteil (als Bruch) entspricht 16% ? 84 100
16%
1 1 − 16 16 3. Der Preis mit 16% MWSt sei 100,-e. Preis ohne MWSt.?
84,-e 4. 110% von 0815 ? 1793 2
4 25
116,-e
≈ 84,16e
≈ 86,21e
≈ 896
896
815 11
565.32
4711 112
4723
5. 12% von 4711 ca 470
Abschnitt 1: Arithmetik und Algebra
12
1.3. Potenz-Rechnung Potenzen handhaben, umformen, vereinfachen ... 1. 210 − 1 99 3
19
119
1023
−1
1
42
116
84
86
1/7
≈ 1/12
0.04
128/5
32
(12/5)2
2
2. 2 − 3 0 2
3. 2 · 3
3
108 2 −1
2
4. (3 + 4 ) 25 2
3
4
5. 2 · 3 · 4 /960 28.8
Abschnitt 1: Arithmetik und Algebra
13
Wurzeln handhaben, umformen, vereinfachen ... 1. 2. 3.
√ √
27 9 32 + 33
√ 3
6
4. 5.
32 + 42
√ 3
√ 2 3
√ 3 2
√ 2 3
√ 3 2
√ 2 4
2
3
≈4
1/2
1/3
0.2
√ 3 22 3 3
√ 633
√ 436
27 24
√
√ 3 3
−1
1 22 · 33 + 24 · 27 √ 3 3 20
Abschnitt 1: Arithmetik und Algebra
14
1.4. Logarithmen Logarithmen berechnen 1. log10 100 10 2. log9 3 2
√
2
0.5
0.1
2
√
√
2
3
3. log10 0.0001 −3 √ 3
4. loga
4
−4
≈ 1/4
3 2a
2 3a
0.¯6
2
√ 1/ 2
√
a2
3/2 2
5. log1/a a −2
2
Abschnitt 1: Arithmetik und Algebra
15
1.5. algebraische Ausdru ¨ cke Eine Analyse algebraischer Ausdr¨ ucke wird dann n¨ otig, wenn diese zu programmieren, d.h. in einer f¨ ur (Taschen-) Rechner verarbeitbare Form √ umzuwandeln sind: statt 3x eben 3*x, statt xn eben x^n und statt x auch sqrt(x). Ausdr¨ ucke ’programmieren’ ... 2
−3 1. Programmieren Sie den Ausdruck 7 23xx+4 +1
2. Programmieren Sie den Ausdruck 3. Programmieren Sie den Ausdruck
Dabei ist jeweils
3 √x +2 x2 −3
√ 3
+ 5(2 x2 − 1)
√ x3 + 2 x2 − 3/(7 x2 − 3)
korrekt!
Abschnitt 1: Arithmetik und Algebra
16
ausklammern, ausmultiplizieren, vereinfachen, Rechnungen u oßen absch¨ atzen ... ¨berschlagen, Gr¨ 1. Mit minimal wievielen Multiplikationen ist x27 zu berechnen? 7 11 26 27 2. Mit minimal wievielen arithmetischen Operationen, also +, −, ∗ und /, l¨ aßt sich x2 − 6x + 9 berechnen? 3. 4.
√
2
4
5
≈8
≈9
≈5
≈6
≈ 1.6 · 1016
≈ 1.6 · 1019
69 ist u aßig ¨berschlagsm¨
√ 3
≈6
≈7
69 ist u aßig ¨berschlagsm¨ ≈3
5. 2
3
64
≈4
ist u aßig ¨berschlagsm¨ ≈ 9 · 109
≈ 6 · 1012
Abschnitt 1: Arithmetik und Algebra
17
1.6. symbolische Ausdru ¨ cke Ausdr¨ ucke l¨ osen, vereinfachen, optimieren ... 1. Wieviele ganzzahlige L¨ osungen x, y und z hat x2 + y 2 = z 2 ? 0
1
2. Vereinfache
a2 a2 −b2
a b
3. Vereinfache log(a + b) f¨ ur a = log 3
a b
2
∞
a+b a+(a−b)
a2 +b2 a2 +(a−b)2
a3 +b3 a3 +(a−b)3 .
log
b2 b−1
b b−1
mit b > 1. log b+log
b b−1
log a + log b
2
4. In x − 2x + 3x − 4 ist die Unbekannte x soweit als m¨oglich ausklammern, um die Anzahl der Multiplikationen zu minimieren. (x − 1)x(x + 1) x(x(x − 2) + 3) − 4
x(x(x − 4) + 3) − 2 (x − 2)(x + 3)(x − 4)
Abschnitt 1: Arithmetik und Algebra
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K¨ urzen Sie die folgenden Br¨ uche soweit als m¨oglich. 1.
2.
3.
2
x x6 x1 x3 a+b a2 +2ab+b2 1 a−b a+3b+2a+6b 12a−36b a−3b 4a−12b
1 x4
x x4
x2 x6
1 a+b
1 a+2ab+b
1 2ab
a+3b 4a−12b
3 4
3 a+b 4 a−b
1 a2 −b2
−1
a+b
uvw −xv 2 y
uv 2 w −v 4 x3 y 2
−u4 w2 v 2 x3 y 2
4. (a − b)/(b − a) b−a a−b 4 2 2
4 3 2
5. u v w /(−v x y ) w2 −v 2 y 2
Abschnitt 1: Arithmetik und Algebra
19
1.7. Gleichungen Nach x aufl¨ osen und l¨ osen ... 1. 3x + 7 = −5x + 13 x = 0.75 x = 4/3 2. 7x + 3a = 3b − 5x x=
a−b 4
x = 2.5 b−a 4
x = −2.5
x = 4(a+b)
x=
x = 4 b/a
x=3
3 4
x=3±
x = 0.5
x=1
2
3. x = 6x − 9 4.
√
x = −3 5x + 4 = 2x + 1 x = −1/2 2
2
x=
√
2
√
2
2
5. a(bx + a(x − 2bx − b + a(a − 2x))) = −b(ax2 + b(2ax − a2 + x2 + b(2x + b))) x=a−b
x=a+b
x = a2 − b2
x = a2 + b2
Abschnitt 1: Arithmetik und Algebra
20
1.8. Ungleichungen sortieren, absch¨ atzen, nach x aufl¨ osen und l¨osen ... 1. Was trifft zu? (selbstverst¨ andlich ganz fix ohne Taschenrechner) 8 −7 ¯ 0.142857< 17 a3 > a2 f¨ ur alle a 0.9 < 1 15 < − 15 2. Sortieren Sie 9 13 29 43
≤ ≤
12 17 9 13
≤ ≤
39 9 12 53 , 13 , 17 29 43 12 17
≤ ≤
und
39 53 39 53
29 43
aufsteigend. 12 17 39 53
≤ ≤
29 43 12 17
≤ ≤
39 53 9 13
≤ ≤
9 13 29 43
3. Welche N¨aherung f¨ ur π ≈ 3.14159265358979 ist die beste? 22 7
157 50
29 9
36 11
4. Was trifft zu? (selbstverst¨ andlich ganz fix ohne Taschenrechner) √ √ √ √ 3 7 4 9 2 2 2 2 2 < 5 < 3 > 7 > 5. F¨ ur welche x gilt −4 < x < 12
5x+4 x−12