Vorkurs-Test - weblearn.hs-bremen.de - Hochschule Bremen

12.09.2007 - Fähigkeiten verfügt, kann effizient und erfolgreich studieren. Für fortgeschrittene Liebhaber steht gourmet.pdf zur Verfügung. 0.3. Online-Test.
479KB Größe 16 Downloads 433 Ansichten
Hochschule Bremen Fachbereich E-Technik & Informatik

Vorkurs-Test Prof. Dr. Th. Risse

Sinn & Zweck Der Vorkurs-Test erlaubt Studienanf¨angern, ihre mathematischen F¨ ahigkeiten (ist) mit den vorausgesetzten F¨ ahigkeiten (soll) zu vergleichen. Studienanf¨anger sind gehalten, offensichtliche Defizite auszugleichen. Der Vorkurs soll gerade dies unterst¨ utzen.

c 2001–2003 [email protected]

¨ Letzte Anderung: 12. September 2007

Version 0.4

Inhaltsverzeichnis 0. Vorbemerkung 0.1. Zielsetzung des Tests 0.2. Test-Niveau und Test-Verlauf 0.3. Online-Test 1. Arithmetik und Algebra 1.1. Bruch-Rechnung 1.2. Prozent-Rechnung 1.3. Potenz-Rechnung 1.4. Logarithmen 1.5. algebraische Ausdr¨ ucke 1.6. symbolische Ausdr¨ ucke 1.7. Gleichungen

Inhaltsverzeichnis (Forts.)

1.8. Ungleichungen 2. Geometrie 2.1. geometrische Objekte der Ebene 2.2. geometrische Objekte im Raum 3. Diverses 4. Auswertung

3

Abschnitt 0: Vorbemerkung

4

0. Vorbemerkung 0.1. Zielsetzung des Tests Jede(r) Studierende kann mit Hilfe dieses Tests seine St¨arken und Schw¨ achen in Mathematik herausfinden: diejenigen, die den Test ohne Schwierigkeiten erfolgreich absolvieren, k¨ onnen sich beruhigt um andere Dinge k¨ ummern. Diejenigen, die in diesem Test Schwierigkeiten haben oder gar nicht erfolgreich sind, sollten sich aktiv darum k¨ ummern, ihre L¨ ucken zu schließen. Sie k¨ onnen sich einfach alte Mathematik-Schulb¨ ucher vornehmen und die offensichtlichen Defizite ausgleichen, sich mit zuk¨ unftigen Kommilitonen zusammentun, um gemeinsam Vergessenes zu reaktivieren, oder an dem der an der Hochschule Bremen im Fachbereich E-Technik & Informatik angebotenen Vorkurs teilnehmen. Der Test hilft Ihnen also festzustellen, ob Sie f¨ ur Ihr Studium ausreichende mathematische Vorkenntnisse mitbringen. Etwaige Defizite m¨ ussen Sie selber ausgleichen – ganz gleich ob eigenst¨andig, zusammen mit anderen, zu Hause oder im Vorbereitungskurs.

Abschnitt 0: Vorbemerkung

5

0.2. Test-Niveau und Test-Verlauf Die Test-Aufgaben in den folgenden Abschnitten stammen aus Bereichen wie Algebra und Geometrie und haben Mittelstufen-Niveau. Nehmen Sie sich zur Bearbeitung Papier und Bleistift und zwei Stunden Zeit (Wecker), notieren Sie sich Zwischenergebnisse, und ermitteln Sie am Schluß Ihre pers¨onliche Test-Empfehlung. Nur wer u ¨ber die auf diesem Niveau grundlegenden mathematischen F¨ahigkeiten verf¨ ugt, kann effizient und erfolgreich studieren. ugung. F¨ ur fortgeschrittene Liebhaber steht gourmet.pdf zur Verf¨

0.3. Online-Test Neben anderen Dokumenten ist dieser Test online unter www.weblearn.hs-bremen.de/risse/MAI/docs/ als pdf-Datei vorkurs.pdf verf¨ ugbar. Zum Lesen, zur Ausf¨ uhrung, eben zum browsen ist Acrobat Reader in der Version 4.0 oder besser notwendig, den Sie von http://www.adobe.com downloaden k¨onnen.

Abschnitt 1: Arithmetik und Algebra

6

1. Arithmetik und Algebra Unverzichtbare F¨ahigkeiten sind der Umgang mit Br¨ uchen (K¨ urzen, Erweitern, Grundrechenarten), Prozent-Rechnung, Potenz-Rechnung (Grundrechenarten, Vereinfachen), Umgang mit Ausdr¨ ucken (Ausmultiplizieren, Ausklammern, Vereinfachen), Umgang mit Gleichungen (Aufl¨osen, L¨osen), usw. Ohne diese fundamentalen F¨ ahigkeiten ist es nicht einmal denkbar, naturwissenschaftliche Sachverhalte der Physik, Elektrotechnik, Regelungstechnik, Algorithmik, usw. zu vermitteln: eine Ausbildung in Informatik oder Ingenieurwissenschaften ist dann einfach nicht m¨oglich. Einfachste Rechnungen sind dabei nicht nur sicher (=korrekt) sondern auch in angemesseener Zeit (=schnell) durchzuf¨ uhren!

Abschnitt 1: Arithmetik und Algebra

7

1.1. Bruch-Rechnung K¨ urzen Sie die folgenden Br¨ uche soweit als m¨oglich. 1.

2 6 1 3

1 4

1 8

2 6

6 10

4 5

2 3

1 3

150 27

120 27

90 4

40 9

4.

−18 15 9 −5

6 −5

−8 5

5.

−9 5 121 −187 11 17

−9 11

13 −17

−11 17

2. 3.

12 15

360 81

Abschnitt 1: Arithmetik und Algebra

8

Erweitern Sie die folgenden Br¨ uche, so daß sich der angegebene (Haupt-) Nenner ergibt. 1. Erweitere

2 6

zum (Haupt-) Nenner 36

2 6

2 36

2. Erweitere

12 15

72 90 7 9

−110 385

5.

12 −16

80 90

12 15

zum (Haupt-) Nenner 405 170 405

45 405

4. Erweitere

12 36

zum (Haupt-) Nenner 90

60 90

3. Erweitere

1 36

−2 7

35 405

315 405

zum (Haupt-) Nenner 385 770 −385

35 −385

−77 385

15 −28

−11 28

zum (Haupt-) Nenner 28 −21 28

−24 28

Abschnitt 1: Arithmetik und Algebra

9

Berechnen Sie Summe und Differenz von Br¨ uchen und k¨ urzen Sie soweit als m¨ oglich. 1. 2. 3. 4. 5.

2 6

7 8 9 14

+

12 5



29 24

41 36

58 48

5 2

4 60

15 12

17 45

20 48

67 24

17 14

−6 14

−77 385

−24 16

15 −12

−11 28

7 3

1 15 7 13 6 + 8 45 24 3 −2 + 2 7 −17 28 12 16 −16 − −12 7 12

Abschnitt 1: Arithmetik und Algebra

10

Berechnen Sie das Produkt und den Quotienten von Br¨ uchen und k¨ urzen Sie das Ergebnis soweit als m¨oglich.

3.

7 8 9 11 12 7 −5 · 3 84 −15 7/6 13/8

91 48

48 91

39 28

4.

28 39 3/2 −2/7

− 37

−6 14

−5 9

5.

−21 4 12/16 −16/12

−23 32

−9 16

−1

1. 2.

2 3

·

− 144 256

14 24

7 12

11 9

− 35 24

− 58

− 28 5

Abschnitt 1: Arithmetik und Algebra

11

1.2. Prozent-Rechnung Br¨ uche durch Prozent ausdr¨ ucken und umgekehrt, Anteile als Bruch oder in Prozent angeben ... 1. Wieviel Prozent sind

1 8

?

80% 24% 12.5% 2. Welcher Anteil (als Bruch) entspricht 16% ? 84 100

16%

1 1 − 16 16 3. Der Preis mit 16% MWSt sei 100,-e. Preis ohne MWSt.?

84,-e 4. 110% von 0815 ? 1793 2

4 25

116,-e

≈ 84,16e

≈ 86,21e

≈ 896

896

815 11

565.32

4711 112

4723

5. 12% von 4711 ca 470

Abschnitt 1: Arithmetik und Algebra

12

1.3. Potenz-Rechnung Potenzen handhaben, umformen, vereinfachen ... 1. 210 − 1 99 3

19

119

1023

−1

1

42

116

84

86

1/7

≈ 1/12

0.04

128/5

32

(12/5)2

2

2. 2 − 3 0 2

3. 2 · 3

3

108 2 −1

2

4. (3 + 4 ) 25 2

3

4

5. 2 · 3 · 4 /960 28.8

Abschnitt 1: Arithmetik und Algebra

13

Wurzeln handhaben, umformen, vereinfachen ... 1. 2. 3.

√ √

27 9 32 + 33

√ 3

6

4. 5.

32 + 42

√ 3

√ 2 3

√ 3 2

√ 2 3

√ 3 2

√ 2 4

2

3

≈4

1/2

1/3

0.2

√ 3 22 3 3

√ 633

√ 436

27 24



√ 3 3

−1

1 22 · 33 + 24 · 27 √ 3 3 20

Abschnitt 1: Arithmetik und Algebra

14

1.4. Logarithmen Logarithmen berechnen 1. log10 100 10 2. log9 3 2



2

0.5

0.1

2





2

3

3. log10 0.0001 −3 √ 3

4. loga

4

−4

≈ 1/4

3 2a

2 3a

0.¯6

2

√ 1/ 2



a2

3/2 2

5. log1/a a −2

2

Abschnitt 1: Arithmetik und Algebra

15

1.5. algebraische Ausdru ¨ cke Eine Analyse algebraischer Ausdr¨ ucke wird dann n¨ otig, wenn diese zu programmieren, d.h. in einer f¨ ur (Taschen-) Rechner verarbeitbare Form √ umzuwandeln sind: statt 3x eben 3*x, statt xn eben x^n und statt x auch sqrt(x). Ausdr¨ ucke ’programmieren’ ... 2

−3 1. Programmieren Sie den Ausdruck 7 23xx+4 +1

2. Programmieren Sie den Ausdruck 3. Programmieren Sie den Ausdruck

Dabei ist jeweils

3 √x +2 x2 −3

√ 3

+ 5(2 x2 − 1)

√ x3 + 2 x2 − 3/(7 x2 − 3)

korrekt!

Abschnitt 1: Arithmetik und Algebra

16

ausklammern, ausmultiplizieren, vereinfachen, Rechnungen u oßen absch¨ atzen ... ¨berschlagen, Gr¨ 1. Mit minimal wievielen Multiplikationen ist x27 zu berechnen? 7 11 26 27 2. Mit minimal wievielen arithmetischen Operationen, also +, −, ∗ und /, l¨ aßt sich x2 − 6x + 9 berechnen? 3. 4.



2

4

5

≈8

≈9

≈5

≈6

≈ 1.6 · 1016

≈ 1.6 · 1019

69 ist u aßig ¨berschlagsm¨

√ 3

≈6

≈7

69 ist u aßig ¨berschlagsm¨ ≈3

5. 2

3

64

≈4

ist u aßig ¨berschlagsm¨ ≈ 9 · 109

≈ 6 · 1012

Abschnitt 1: Arithmetik und Algebra

17

1.6. symbolische Ausdru ¨ cke Ausdr¨ ucke l¨ osen, vereinfachen, optimieren ... 1. Wieviele ganzzahlige L¨ osungen x, y und z hat x2 + y 2 = z 2 ? 0

1

2. Vereinfache

a2 a2 −b2

a b

3. Vereinfache log(a + b) f¨ ur a = log 3

a b

2



a+b a+(a−b)

a2 +b2 a2 +(a−b)2

a3 +b3 a3 +(a−b)3 .

log

b2 b−1

b b−1

mit b > 1. log b+log

b b−1

log a + log b

2

4. In x − 2x + 3x − 4 ist die Unbekannte x soweit als m¨oglich ausklammern, um die Anzahl der Multiplikationen zu minimieren. (x − 1)x(x + 1) x(x(x − 2) + 3) − 4

x(x(x − 4) + 3) − 2 (x − 2)(x + 3)(x − 4)

Abschnitt 1: Arithmetik und Algebra

18

K¨ urzen Sie die folgenden Br¨ uche soweit als m¨oglich. 1.

2.

3.

2

x x6 x1 x3 a+b a2 +2ab+b2 1 a−b a+3b+2a+6b 12a−36b a−3b 4a−12b

1 x4

x x4

x2 x6

1 a+b

1 a+2ab+b

1 2ab

a+3b 4a−12b

3 4

3 a+b 4 a−b

1 a2 −b2

−1

a+b

uvw −xv 2 y

uv 2 w −v 4 x3 y 2

−u4 w2 v 2 x3 y 2

4. (a − b)/(b − a) b−a a−b 4 2 2

4 3 2

5. u v w /(−v x y ) w2 −v 2 y 2

Abschnitt 1: Arithmetik und Algebra

19

1.7. Gleichungen Nach x aufl¨ osen und l¨ osen ... 1. 3x + 7 = −5x + 13 x = 0.75 x = 4/3 2. 7x + 3a = 3b − 5x x=

a−b 4

x = 2.5 b−a 4

x = −2.5

x = 4(a+b)

x=

x = 4 b/a

x=3

3 4

x=3±

x = 0.5

x=1

2

3. x = 6x − 9 4.



x = −3 5x + 4 = 2x + 1 x = −1/2 2

2

x=



2



2

2

5. a(bx + a(x − 2bx − b + a(a − 2x))) = −b(ax2 + b(2ax − a2 + x2 + b(2x + b))) x=a−b

x=a+b

x = a2 − b2

x = a2 + b2

Abschnitt 1: Arithmetik und Algebra

20

1.8. Ungleichungen sortieren, absch¨ atzen, nach x aufl¨ osen und l¨osen ... 1. Was trifft zu? (selbstverst¨ andlich ganz fix ohne Taschenrechner) 8 −7 ¯ 0.142857< 17 a3 > a2 f¨ ur alle a 0.9 < 1 15 < − 15 2. Sortieren Sie 9 13 29 43

≤ ≤

12 17 9 13

≤ ≤

39 9 12 53 , 13 , 17 29 43 12 17

≤ ≤

und

39 53 39 53

29 43

aufsteigend. 12 17 39 53

≤ ≤

29 43 12 17

≤ ≤

39 53 9 13

≤ ≤

9 13 29 43

3. Welche N¨aherung f¨ ur π ≈ 3.14159265358979 ist die beste? 22 7

157 50

29 9

36 11

4. Was trifft zu? (selbstverst¨ andlich ganz fix ohne Taschenrechner) √ √ √ √ 3 7 4 9 2 2 2 2 2 < 5 < 3 > 7 > 5. F¨ ur welche x gilt −4 < x < 12

5x+4 x−12