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Kurzbeschreibungen zu einigen Modulen, die im Programm MathProf 5.0 unter dem Themenbereich Geometrie implementiert sind.

• Ellipse Das Modul Ellipse ermöglicht die Durchführung der Berechnung und Darstellung von Ellipsen durch die Festlegung von Werten verschiedener Größen. Ermittelt und ausgegeben werden u.a. Werte für: Halbachsen, lineare Exzentrizität, numerische Exzentrizität, Fläche, Halbparameter, Umfang, Brennpunktkoordinaten.

• Vieleck Das Modul Vieleck ermöglicht die Durchführung der Berechnung und Darstellung von Vielecken durch die Festlegung von Werten verschiedener Größen (Ausgegeben werden u.a.: Umkreisradius, Seitenlänge, Zentriwinkel, Innenwinkelsumme, Diagonalenanzahl, Umfang des Polygons, Fläche des Polygons, Fläche des Inkreises, Eckpunktkoordinaten).

• Kreisausschnitt Das Modul Kreisausschnitt ermöglicht die Durchführung der Berechnung und Darstellung von Kreisauschnitten durch die Festlegung von Werten verschiedener Größen. Ermittelt und ausgegeben werden u.a. Werte für: Radius des Kreises, Fläche des Kreisausschnitts, Kreisumfang, Winkel des Kreisausschnitts, Bogenlänge des Kreisausschnitts, Fläche des Kreises, Fläche des Kreissegments, Länge der Sehne, Schwerpunkt des Kreisausschnitts, Ortspunktkoordinaten.

• Kreissegment Das Modul Kreissegment ermöglicht die Durchführung der Berechnung und Darstellung von Kreissegmenten durch die Festlegung von Werten verschiedener Größen. Ermittelt und ausgegeben werden u.a. Werte für: Radius des Kreises, Fläche des Kreissegments, Höhe des Kreissegments, Winkel des Kreissegments, Bogenlänge des Kreissegments, Gesamtfläche des Kreises, Fläche des Kreissektors, Länge der Sehne, Kreisumfang, Schwerpunkt des Kreissegments.

• Viereck Das Modul Viereck ermöglicht die Durchführung der Berechnung und Darstellung von Vierecken durch die Festlegung von Werten verschiedener Größen. Ausgegeben werden u.a. Werte für: Eckpunktkoordinaten, Seitenlängen, Innenwinkel, Innenwinkelsumme, Diagonalenlängen, Diagonalenschnittwinkel, Flächeninhalt. Optional festlegbar: Darstellung von Diagonalen, Seitenhalbierenden, Mittelsenkrechten, Winkelhalbierenden etc.

• Satz des Ptolemäus Das Modul Satz des Ptolemäus ermöglicht die Durchführung iteraktiver Untersuchungen zum Satz des Ptolemäus. Ermittelt und ausgegeben werden u.a. Werte für: Eckpunktkoordinaten, Seitenlängen, Innenwinkel, Innenwinkelsumme, Diagonalenlängen, Flächeninhalt.

• Satz des Arbelos Das Modul Satz des Arbelos ermöglicht die interaktive Untersuchung der von Archimedes als "Schustermesser" bezeichneten Figur. Ermittelt und ausgegeben werden u.a. Werte für: Eckpunktkoordinaten, Streckenlängen, Fläche des Arbelos, Eigenschaften der Arbelos-Kreise, des Sekantenkreises und des Tangentenkreises. Optional festlegbar: Darstellung von Arbelos-Tangente, Sekanten-Kreis, Tangenten-Kreis, Arbelos-Rechteck.

• Pappus-Kreise Das Modul Pappus-Kreise ermöglicht die Darstellung und Analyse der nach dem griechischen Mathematiker Pappus benannten Kreise. Ermittelt und ausgegeben werden u.a. Werte für: Punktkoordinaten, Mittelpunkte der Halbkreisbögen, Länge der vertikalen Strecke FC, Eigenschaften der durch die Mittelpunkte der Pappus-Kreise beschriebenen Ellipse.

• Archimedische Kreise Das Modul Archimedische Kreise ermöglicht die interaktive Untersuchung der Zusammenhänge des geometrischen Problems Archimedische Kreise. Ermittelt und ausgegeben werden u.a. Werte für: Eigenschaften der Halbkreisbögen, Eigenschaften der inneren Kreise, Fläche der Möndchen und des Dreiecks, Punktkoordinaten, Streckenlängen.

• Hippokrates Möndchen Das Modul Hippokrates Möndchen ermöglicht die interaktive Untersuchung dieses Problems des altgriechischen Mathematikers Hippokrates. Ermittelt und ausgegeben werden u.a. Werte für: Eigenschaften der Halbkreisbögen, Eigenschaften des Dreiecks, Punktkoordinaten, Streckenlängen.

• Varignon-Parallelogramm: Das Modul Varignon-Parallelogramm ermöglicht die interaktive Veranschaulichung der Zusammenhänge am VarignonParallelogramm. Ermittelt und ausgegeben werden u.a. Werte für: Winkel, Streckenlängen, Flächen des inneren und des äußeren Varignon-Parallelogramms, Punktkoordinaten, Diagonalenschnittpunkt.

• Affine Abbildung: Das Modul Affine Abbildung ermöglicht Folgendes mit aus bis zu zwölf verschiedenen Punkten bestehenden geometrischen Gebilden: · Durchführung einfacher affiner Transformationen · Durchführung affiner Mehrfachtransformationen · Ermittlung der Fixelemente affiner Abbildungen

• Polygone: Das Modul Polygone ermöglicht die Durchführung grundlegender affiner Transformationen mit Polygonen, welche aus bis zu zwölf Eckpunkten bestehen können. Hierzu zählen: · Verschiebung · Punktspiegelung · Geradenspiegelung · Streckung · Drehung · Drehstreckung · Scherung an x-Achse · Scherung an y-Achse · Scherung an einer Geraden · Affine Transformation

• Bewegungen in der Ebene: Das Modul Bewegungen in der Ebene ermöglicht die interaktive Analyse von Bewegungen geometrischer Objekte in der Ebene sowie die Durchführung und Analyse nachfolgend aufgeführter Arten von Transformationen mit Polygonen:

· Verschiebung · Punktspiegelung · Geradenspiegelung · Streckung · Drehung · Drehstreckung · Scherung an x-Achse · Scherung an y-Achse · Scherung an einer Geraden

• Gerade: Verschiedene Module zum Themengebiet Gerade ermöglichen die Analyse einer oder zweier Geraden folgender Arten: · Allgemeine Form · Punkt-Richtungs-Form · Zwei-Punkte-Form · Achsenabschnittsform · Hessesche Normalenform Ermittelt und ausgegeben werden u.a. Werte für: Achsenabschnitt der Geraden, Steigung der Geraden, Gleichung der Geraden, Abstand der Geraden vom Ursprung, Nullstelle der Geraden, Gleichungen der Winkelhalbierenden zweier Geraden der entsprechenden Form, Schnittpunkt zweier Geraden der entsprechenden Form.

• Gerade - Punkt: Das Modul Gerade - Punkt ermöglicht die Ermittlung des Abstands eines Punktes von einer Geraden, der Gleichung der Lotgeraden durch einen Punkt auf eine Gerade, sowie Ausgabe der Koordinatenwerte für entsprechenden Lotfußpunkt. Die Gerade kann in einer der folgenden Formen definiert werden: · Allgemeine Form · Punkt-Richtungs-Form · Zwei-Punkte-Form · Achsenabschnittsform · Hessesche Normalenform Zudem werden folgende Eigenschaften der Geraden analysiert und ausgegeben: Funktionsgleichungen der Geraden, Nullstellen der Geraden, Neigungswinkel der Geraden bzgl. der Abszisse, Abstand der Geraden vom Koordinatenursprung.

• Gerade - Gerade: Das Modul Gerade - Gerade ermöglicht die Durchführung von Untersuchungen bzgl. der Eigenschaften einer Gerade, sowie der Schnitte zweier Geraden. Geraden können in einer der folgenden Formen definiert werden: · Allgemeine Form · Punkt-Richtungs-Form · Zwei-Punkte-Form · Achsenabschnittsform · Hessesche Normalenform Ermittelt und ausgegeben werden u.a. Werte für: Funktionsgleichungen der Geraden, Nullstellen der Geraden, Schnittpunkt der Geraden, Schnittpunkt der Geraden mit der y-Achse, Winkelhalbierende der Geraden. Zudem werden folgende Eigenschaften der Geraden analysiert und ausgegeben: Funktionsgleichungen der Geraden, Nullstellen der Geraden, Neigungswinkel der Geraden bzgl. der Abszisse, Abstand der Geraden vom Koordinatenursprung.

• Kreis - Gerade: Das Modul Kreis - Gerade ermöglicht die Durchführung von Untersuchungen mit Kreisen und Geraden. Kreise können in einer der nachfolgend aufgeführten Formen definiert werden: · Mittelpunktform · 3-Punkte-Form · Vektorielle Form · Koordinatenform · Parameterform · Scheitelgleichung Mögliche Definitionsformen für Geraden sind: · Allgemeine Form · Punkt-Richtungs-Form · Zwei-Punkte-Form · Achsenabschnittsform · Hessesche Normalenform Das Programm ermittelt u.a.: Eigenschaften des Kreises, Eigenschaften der Gerade, Schnittpunkte des Kreises und der Geraden, Sehnenlänge des Kreisabschnitts, Gleichungen der Tangenten an den Kreis in den Schnittpunkten, Gleichungen der Normalen des Kreises in den Schnittpunkten.

• Kreis - Kreis: Das Modul Kreis - Kreis ermöglicht die Durchführung von Untersuchungen mit zwei Kreisen. Diese können in einer der nachfolgend aufgeführten Formen definiert werden: · Mittelpunktform · 3-Punkte-Form · Vektorielle Form · Koordinatenform · Parameterform

· Scheitelgleichung Das Programm ermittelt u.a.: Gleichungen der Kreise in Mittelpunktform, Eigenschaften der Kreise, Schnittpunkte der Kreise, Sehnenlänge des Kreisabschnitts, Gleichung der Chordale der beiden Kreise, Gleichungen der Tangenten an die Kreise in den Schnittpunkten, Gleichungen der Normalen der Kreise in den Schnittpunkten.

• Kreis - Punkt: Das Modul Kreis - Punkt ermöglicht die Durchführung von Analysen mit Kreisen und Punkten in der Ebene. Kreise können in einer der nachfolgend aufgeführten Formen definiert werden: · Mittelpunktform · 3-Punkte-Form · Vektorielle Form · Koordinatenform · Parameterform · Scheitelgleichung Das Programm ermittelt u.a.: Gleichungen der Kreise in Mittelpunktform, Eigenschaften des Kreises, Berührpunkte der Kreistangenten, Gleichungen der Kreistangenten durch einen extern liegenden Punkt, Gleichungen der Normalen des Kreises durch die Berührpunkte, Sehnenlänge.

• Inversion einer Geraden oder eines Kreises am Kreis: Die Module Inversion einer Geraden am Kreis und Inversion eines Kreises am Kreis ermöglichen die interaktive Analyse der Zusammenhänge die bei Durchführung der Inversion einer Geraden an einem Kreis oder der Inversion eines Kreises an einem weiteren Kreis vorliegen.

• Kegelschnitt (Pyramidenschnitt) - Prinzip: Die kleinen Module Kegelschnitt-Prinzip und Pyramidenschnitt-Prinzip ermöglichen es, sich die beim Schnitt eines Kegels (einer Pyramide) in der Ebene entstehenden Flächen darstellen zu lassen.

• Kegelschnitte in Mittelpunktlage: Das Modul Kegelschnitt in Mittelpunktlage ermöglicht die Durchführung interaktiver Untersuchungen mit mathematischen Kurven, die als Kegelschnitte in Mittelpunktlage bezeichnet werden. Hierbei können analysiert werden: · Ellipse · Ellipse (Parameterform) · Hyperbel · Hyperbel (Parameterform) · Parabel mit horizontaler Öffnungsrichtung · Parabel mit horizontaler Öffnungsrichtung (Parameterform) Für den entsprechenden Kegelschnitt werden u.a. ermittelt und grafisch ausgegeben: · Evolute (Kurve der Krümmungskreismittelpunkte) · Brennpunkte und Brennstrahlen bei best. Abszissenpos. · Krümmungskreise bei best. Abszissenpos. · Haupt- und Nebenkreis (bei Hyperbeln bzw. Ellipsen) · Asymptoten (bei Hyperbeln) · Tangenten und Normalen bei best. Abszissenpos. · Subtangenten und Subnormalen · Flächeninhalte von Segmenten und Sektoren

• Kegelschnitte in achsparalleler Lage: Das Modul Kegelschnitt in achsparalleler Lage ermöglicht die interaktive Untersuchung mathematischer Kurven, die als Kegelschnitte in achsparalleler Lage bezeichnet werden. Es können analysiert werden: · Ellipse · Ellipse (Parameterform) · Hyperbel · Hyperbel (Parameterform) · Parabel mit horizontaler Öffnungsrichtung · Parabel mit horizontaler Öffnungsrichtung (Parameterform) Für den entsprechenden Kegelschnitt werden u.a. ermittelt und grafisch ausgegeben: · Evolute (Kurve der Krümmungskreismittelpunkte) · Brennpunkte - und Brennstrahlen · Krümmungskreise bei best. Abszissenpos. · Haupt- und Nebenkreis (bei Hyperbeln bzw. Ellipsen) · Asymptoten (bei Hyperbeln) · Tangenten und Normalen bei best. Abszissenpos. · Subtangenten und Subnormalen bei best. Abszissenpos.

• Kegelschnitte in Mittelpunktlage - Punkt: Das Modul Kegelschnitt in Mittelpunktlage - Punkt ermöglicht die Durchführung interaktiver Untersuchungen zur Ermittlung der Gleichungen externer Tangenten an Kegelschnitte in Mittelpunktlage. Es können Untersuchungen mit folgenden Kegelschnittkurven durchgeführt werden: · Ellipse · Hyperbel · Parabel mit horizontaler Öffnungsrichtung Das Programm ermittelt hierbei: · Berührpunkte der Kegelschnittkurve und der durch den externen Punkt verlaufenden Tangenten · Gleichungen von Tangenten an die entsprechende Kurve · Gleichung der Polare (durch die Berührpunkte verlaufende Gerade) · Gleichungen der Winkelhalbierenden der durch den externen Punkt verlaufenden Tangenten Für den entsprechenden Kegelschnitt werden u.a. ermittelt und grafisch ausgegeben: · Evolute (Kurve der Krümmungskreismittelpunkte) · Asymptoten (bei Hyperbeln)

• Kegelschnitte - Gerade: Das Modul Kegelschnitt - Gerade ermöglicht die Durchführung interaktiver Untersuchungen von Kegelschnitten in achsparalleler Lage, die von einer Geraden geschnitten werden, sowie die Analyse und Darstellung der Durchmesser von Kegelschnitten. In diesem Modul können Untersuchungen mit Kegelschnitten in achsparalleler Lage und Geraden interaktiv durchgeführt werden. An Kegelschnitten stehen zur Auswahl: · Ellipse · Hyperbel · Parabel mit horizontaler Öffnungsrichtung

· Parabel mit vertikaler Öffnungsrichtung Zudem lassen sich Durchmesser der folgenden Kegelschnitte darstellen: · Durchmesser einer Ellipse · Durchmesser einer Hyperbel · Durchmesser einer Parabel Bei Untersuchungen mit Geraden können diese in einer der nachfolgend aufgeführten Formen definiert werden: · Steigungsform · Zwei-Punkte-Form · Hessescher Normalenform · Achsenabschnittsform · Allgemeiner Form

• Allgemeine Kegelschnitte: Das Modul Allgemeine Kegelschnitte ermöglicht die Durchführung von Analysen und die Darstellung von Kegelschnitten, die in Form der allgemeinen Gleichung 2. Ordnung ax² + 2bxy + cy² + 2dx + 2ey + f = 0 gegeben sind. Aus den festlegbaren Werten für die Koeffizienten a, b, c, d, e und f ermittelt das Programm u.a.: · Art des Kegelschnitts (entartet, nichtentartet) · Koeffizienten der transformierten Gleichung des Typs ax² + cy² + 2dx + 2ey + f = 0 · Eigenschaften des Kegelschnitts (Kegelwinkel, Mittelpunkt des Kegelschnitts, Halbachsen, Lineare Exzentrizität, Numerische Exzentrizität, Parameter 2p, Brennpunkte) · Tangenten und Normalen bei best. Abszissenpos.

• Kegelschnitte durch 5 Punkte: Das Modul Kegelschnitte durch 5 Punkte ermöglicht die Durchführung von Analysen und die Darstellung von Kegelschnitten, die durch fünf Punkte beschrieben werden. Aus den eingegebenen Punktkoordinaten ermittelt das Programm zunächst die Koeffizienten a, b, c, d, e und f der Ausgangsgleichung ax² + 2bxy + cy² + 2dx + 2ey + f = 0.

Hiernach führt es Berechnungen mit diesem Kegelschnitt durch und ermittelt u.a.: · Art des Kegelschnitts (entartet, nichtentartet) · Koeffizienten der transformierten Gleichung des Typs ax² + cy² + 2dx + 2ey + f = 0 · Eigenschaften des Kegelschnitts (Kegelwinkel, Mittelpunkt des Kegelschnitts, Halbachsen, Lineare Exzentrizität, Numerische Exzentrizität, Parameter 2p, Brennpunkte) · Tangenten und Normalen bei best. Abszissenposition.

• Spirolateralkurven: Das Modul Spirolateralkurven ist ein kleines Unterprogramm zur interaktiven Erzeugung und Darstellung von Spirolateralkurven.

• Spiralen im Vieleck: Das Modul Spiralen im Vieleck ist ein kleines Unterprogramm zur interaktiven Erzeugung und Darstellung von Spiralen in Vielecken.

• Strahlensatz: Das Modul Strahlensatz ist ein kleines Unterprogramm zur Durchführung interaktiver Untersuchungen zum Strahlensatz.

• Interaktive Geometrie mit Objekten: Das Modul Interaktive Geometrie mit Objekten dient dem Erstellen und Analysieren einfacher geometrischer Gebilde. Es bietet die Möglichkeit Zusammenhänge im Bereich der Planimetrie auf einfache Weise interaktiv zu analysieren.

• Dreieck - Pyramide - Quader im Raum: Das Modul Dreieck - Pyramide - Quader im Raum ermöglicht die Darstellung, sowie die numerische Analyse einfacher Gebilde im Raum. Es stehen folgende Objekte zur Verfügung, mit welchen Untersuchungen durchgeführt werden können: · Strecke · Dreieck · Pyramide · Würfel · Quader Das Programm ermittelt nach der Definition eines Gebildes dessen wesentliche Eigenschaften und gibt die Werte dieser aus.

• Krummflächig begrenzte Körper: Das Modul Krummflächig begrenzte Körper ermöglicht die Berechnung, sowie die dreidimensionale Darstellung verschiedener krummflächig begrenzter Körper. Untersuchungen können mit nachfolgend aufgeführten Körpern durchgeführt werden: · Kugel · Kugelsegment · Kugelsektor · Kugelschicht · Zylinder · Hohlzylinder · Kegel · Kegelstumpf · Torus · Zylinder - schräg geschnitten · Doppelkegel · Zylinderabschnitt · Schiefer Kegel Das Programm ermittelt nach der Definition eines Gebildes dessen wesentliche Eigenschaften und gibt die Werte dieser aus.

• Ebenflächig und krummflächig begrenzte Körper: Das Modul Ebenflächig und krummflächig begrenzte Körper ermöglicht die Berechnung, sowie die dreidimensionale Darstellung verschiedener eben- und krummflächig begrenzter Körper. Untersuchungen können mit nachfolgend aufgeführten Gebilden durchgeführt werden: · Regelmäßiges Prisma · Senkrechter Zylinder · Vierseitige Pyramide · Senkrechter Kreiskegel · Kugel · Keil · Obelisk · Doppelpyramide · Pyramidenstumpf · Schiefes Prisma · Schiefe Pyramide · N-seitige Pyramide Das Programm ermittelt nach der Definition eines Gebildes dessen wesentliche Eigenschaften und gibt die Werte dieser aus.

• Platonische Körper: Das Modul Platonische Körper ermöglicht die Berechnung, sowie die dreidimensionale Darstellung Platonischer Körper. Dies sind: · Tetraeder · Oktaeder · Hexaeder · Ikosaeder · Dodekaeder Das Programm ermittelt nach der Definition eines Gebildes dessen wesentliche Eigenschaften und gibt die Werte dieser aus.

• Archimedische Körper: Das Modul Archimedische Körper ermöglicht die Darstellung und Analyse der 13, als Archimedische Körper bezeichneten, halbregulären Polyeder. Dies sind: · Abgeschrägtes Hexaeder · Abgeschrägtes Dodekaeder · Abgestumpftes Hexaeder · Kuboktaeder · Abgestumpftes Tetraeder · Rhombenkuboktaeder · Abgestumpftes Oktaeder · Ikosidodekaeder · Abgestumpftes Kuboktaeder · Rhombenikosidodekaeder · Abgestumpftes Dodekaeder · Abgestumpftes Ikosaeder · Abgestumpftes Ikosidodekaeder

Das Programm ermittelt nach der Definition eines Gebildes dessen wesentliche Eigenschaften und gibt die Werte dieser aus.

• Spezielle Polyeder: Das Modul Spezielle Polyeder ermöglicht die Darstellung der 92 Johnson-, wie auch anderer Polyeder.

• Selfbuild:

Das Modul Selfbuild ermöglicht die Erstellung einfacher räumlicher Streckendarstellungen. Hierbei können einfache Zeichnungen mit Strecken erstellt werden, deren Positionen und Längen durch die Definition je zweier Raumpunkte vorgegeben werden. Zudem lassen sich Folgen räumlich definierter Punkte darstellen.

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