Allgemeine Systeme der Toleranzgruppenoptimierung Daniel G¨orsch
Sven Kosub
Klaus-Peter Zocher
¨ 1 EINFUHRUNG Die flexible Teilefertigung und Montage erm¨oglicht den Einsatz weitgehend rechnerunterst¨utzter Verfahren der Qualit¨atssicherung. Das Prinzip der Adaptiven und Selektiven Montage (ASM) verbindet vorbeugende und beherrschende Qualit¨atssicherungsmaßnahmen zur Null-Fehler-Produktion [1]. Dieses Prinzip greift u.a. dann, wenn die realisierbare Funktionstoleranz die zul¨assige nicht gew¨ahrleistet. Einen Ausweg bietet in einer solchen Situation die Aufteilung der Grundgesamtheit aller Bauteile in Toleranzgruppen sowie die Kombination dieser Toleranzgruppen. Gesamtheitlich wird dadurch eine partielle, innerhalb der Toleranzgruppenkombinationen eine vollst¨andige Austauschbarkeit der Bauteile gewahrt. Anzustreben ist, die Menge aller in Toleranzgruppen einordenbaren Bauteile zu maximieren. Die Bestimmung derart geeigneter Toleranzgruppengrenzen ist Gegenstand der Toleranzgruppenoptimierung (TGO). Hierf¨ur werden im folgenden ad¨aquate Modellierungs- und Optimierungsans¨atze diskutiert. Als integraler Bestandteil der ASM, der ihre selektive Komponente definiert, sollte die Modellbildung im Rahmen der TGO zumindest den Anforderungen der dimensionslosen Charakterisierung funktionaler Zusammenh¨ange, der Einbeziehung beliebiger Wahrscheinlichkeitsverteilungen der Qualit¨atsmerkmale gefertigter und angelieferter Bauteile sowie der Ber¨ucksichtigung nichtlinearer Bestandteile auf der Grundlage des vollst¨andigen Toleranzmodells gen¨ugen [3]. Die Erfordernisse, die durch die beiden ersten Bedingungen ausgedr¨uckt werden, ergeben sich aus dem Generalit¨atsanspruch des ASM-Prinzips. Die letzte Bedingung bestimmt wesentlich den kombinatorischen Charakter der TGO. Auf Grundlage der Modelle werden Optimierungssysteme aufgestellt, die hinsichtlich ihrer Folgerichtigkeit, L¨osbarkeit sowie numerischen und algorithmischen Schwierigkeitsgrade behandelt werden. Eine Einschr¨ankung wird darin bestehen, daß s¨amtliche Wahrscheinlichkeitsverteilungen als bekannt und alle Prozeßparameter einschließlich der Verteilungen als zeitinvariant angesehen werden. Es wird somit einer statischen Betrachtungsweise gefolgt, die die adaptive Komponente der ASM weitgehend ausgeklammert. Die vorgestellten Ans¨atze k¨onnen jedoch als Referenzmodelle bei der Einbeziehung dynamischer Gesichtspunkte dienen.
2 TOLERANZMODELLE
Es wird stets von folgendem Szenario ausgegangen: Betrachtet wird ein funktionaler Zusammenhang zwischen den unabh¨angigen Zufallsgr¨oßen und der Zufallsgr¨oße , der durch eine in einem Gebiet unendlich oft stetig differenzierbare Funktion beschrieben werden kann. Es gilt also . Die Zufallsgr¨oßen repr¨asentieren Qualit¨atsmerkmale von Bauteilen, die ihrerseits eineindeutig einem Bauteil zugeordnet sind. Auf diese Weise wird die Unabh¨angigkeit der Zufallsgr¨oßen plausibel. Durch Montage der Bauteile entstehen f¨ur die Baugruppe neue
1
Qualit¨atsmerkmale , die in der durch beschriebenen Weise abh¨angig von sind. F¨ur und der Qualit¨atsmerkmale absolute Auspr¨agungen und gilt folglich . Um den dimensionsbehafteten funktionalen Zusammenhang in eine dimensionslose Charakterisierung umzuwandeln, ist es zweckm¨aßig, die Funktion in eine Taylorreihe um die Nennwerte der Qualit¨atsmerkmale zu entwickeln. Dabei muß vorausgesetzt werden, daß alle Nennwerte echt von verschieden sind. Nach einer Reihe weiterer, hier nicht ausgef¨uhrter a¨ quivalenter Umformungen bietet sich schließlich folgende Formulierung f¨ur das vollst¨andige Toleranzmodell an:
gilt Eine Darstellung heißt vollst¨andiges Toleranzmodell, falls f¨ur alle
(1) der Qualit¨atsmerkmale auf die aus der Montage resultie bildet die relativen Auspr¨agungen . rende relative Auspr¨agung des Qualit¨atsmerkmals ab, d.h. Wichtig f¨ur die G¨ultigkeit des vollst¨andigen Toleranzmodells ist die Kenntnis des Konver
des vollst¨andigen Toleranzmodells besteht aus genzgebietes . Das Konvergenzgebiet , f¨ur die die unendliche Summe in 1 tats¨achlich definiert ist. Die der Menge aller
Bestimmung der Konvergenzgebiete ist unverzichtbar, um eine Vereinfachung der Toleranzmodelle nach dem Satz von TAYLOR zu gew¨ahrleisten. Eine Vereinfachung durch Vernachl¨assigung des quadratischen Restgliedes kommt nicht in Betracht, da eine lineare Ableitung aus dem vollst¨andigen Toleranzmodell vorliegen w¨urde. Die einfachste nichtlineare Ableitung vollst¨andiger Toleranzmodelle sind quadratische Toleranzmodelle. Ei ! ne Darstellung heißt quadratisches Toleranzmodell, falls f¨ur alle Vektoren gilt
" #
#
%$
&
' (#
)
#
(2)
Quadratische Modelle entstehen aus vollst¨andigen Modellen durch Vernachl¨assigung des kubischen Restgliedes. Im folgenden wird anstelle des funktionalen Zusammenhangs und der gegebenen Nennwerte stets das quadratische Toleranzmodell verwendet. Gleichfalls denkbar sind Modellableitungen durch Vernachl¨assigung von Restgliedern noch h¨oherer Ordnung, durch Transformationen aus quadratischen Modellen nach dem Hauptsatz u¨ ber quadra¨ tische Formen oder durch die betragsm¨aßige Ubernahme der Koeffizienten aus dem quadratischen Modell. Diese Modellableitungen weisen in gewissen Hinsichten so gravierende Nachteile auf, daß sie f¨ur die weiteren Betrachtungen ungeeignet sind. Eine Diskussion dieser Aspekte kann hier aus Platzgr¨unden nicht erfolgen.
3 TOLERANZGRUPPEN
Relevant wird eine Toleranzgruppenbetrachtung, wenn zu einer geforderten Funktionstoleranz * ,+.-0/ aus der gegebenen Grundgesamtheit aller technischen Gebilde Auspr¨agungen der Qualit¨atsmerkmale existieren, so daß das Toleranzmodell bezogen auf die relativen Abweichungen eine Funktionstoleranz * mit * 213* +.-4/ erreicht. Um den Begriff der Toleranzgruppenbildung einzuf¨uhren, muß zun¨achst gekl¨art werden, was unter die gegebenen Fertigungstoleranzen der Quaeiner Toleranzgruppe zu verstehen ist. Dazu seien *
2
lit¨ atsmerkmale . Eine Toleranzgruppe des Qualit¨atsmerkmals der Breite ist das Intervall $ * $ mit * bzw. das Intervall , falls * * . Seien nun ein Toleranzmodell, * die gegebenen Fertigungstoleranzen und die minimalen Toleranzgruppenbreiten der Qualit¨atsmerkmale sowie * +.-4/ die zul¨assige Funktionstoleranz eines Qualit¨atsmerkmals der Baugruppe. Eine endliche Folge heißt Toleranzgruppenbildung, falls folgende Bedingungen erf¨ullt sind:
1. F¨ur alle
ist
und f¨ur alle
und f¨ur alle 3. f¨ur alle gilt einer Toleranzgruppe sollte eindeutig sein),
eine Toleranzgruppe der Breite ,
gibt es ein 2. f¨ur alle und f¨ur alle mit !" , so daß ist (Toleranzgruppen sollten l¨uckenlos angeordnet sein),
(')*
,+
.-
$#
&%
eine Toleranzgruppe
(die Zugeh¨origkeit eines Bauteils zu
0/
und f¨ur alle * +.-4/ (die Bauteile mit gilt 1 1 4. f¨ur alle 1 1 der Toleranzgruppen mit gleicher Nummer sollten beliebig miteinander montierbar sein, ohne daß die zul¨assige Funktionstoleranz u¨ berschritten wird).
F¨ur eine gegebene Toleranzgruppenbildung kann unter der Voraussetzung, daß f¨ur die relativen Auspr¨agungen eines Qualit¨atsmerkmals die Verteilungsdichten 2 bekannt sind, die Wahrscheinlichkeit berechnet werden, daß in der Toleranzgruppe liegt:
3
=
8
4657
=
.
4 OPTIMIERUNGSSYSTEME
Zur Formulierung von Systemen f¨ur die TGO werden ein beliebiges Toleranzmodell , im Konver genzgebiet liegende Fertigungstoleranzen * und eine zul¨assige Funktionstoleranz * +.-4/ vorausgesetzt. Das optimierungssystem selbst h¨angt von den Modellvariablen. Die nachfolgenden Betrachtungen definieren also genau genommen Schemata f¨ur die Optimierungsprobleme. Die Komponenten der Systeme sind zu unterteilen in die Zielfunktion, die der Optimierung unterliegt, und den Nebenbedingungen, die inhaltliche Konsistenzpr¨amissen, technologisch-praktische und algorithmische Aspekte widerspiegeln. Als allgemeine Zielformulierung @ kommt die Maximierung des minimalen Wirkungsgrades aller Qualit¨atsmerkmale in Betracht. Diese allgemeine Zielformulierung l¨aßt sich notieren als @
JK (LNMNMNM L PO
ABDC
Toleranzgruppenbildung E
FHGI
=
(4)
Aus dem globalen Charakter dieser Formulierung – es werden gleichzeitig alle Toleranzgruppen der Toleranzgruppenbildung einbezogen – l¨aßt sich leicht das explosionsartige kombinatorische Ausmaß der Optimierung erahnen. Besser ist deshalb eine Lokalisierung der Optimierung, d.h. eine sukzessive Festlegung der Toleranzgruppen, auch wenn dadurch Optimierungsverluste auftreten k¨onnen. F¨ur die
3
ersten Toleranzgruppen ist die ad¨quate Formulierung zur Maximierung des minimalen Wirkungsgrades
@
9
LNMNMNM L
A BDL 4 C
LNMNMNM L
9
4
JPK (LNMNMNM L PO
(5)
=
FHGI
'
'
Toleranzgruppen mit 1 seien f¨ur alle mit bereits die Zur Bestimmung aller -ten de - und Toleranzgruppengrenzen - und - bekannt. Seien definiert als FHGI - . Dann ist die Maximierung des Wirkungsgrades der -ten Toleranzgruppen finiert als F ausdr¨uckbar als
@
7 9
LNMNMNM L
9
7
L 4
7
LNMNMNM L 4
7
ABDC 9 57
mit
7 4 5
oder
4 57
5 7 9
JPK (LNMNMNM L PO
(6)
=
FHGI
Ab einem bestimmten gibt es keine weiteren Toleranzgruppen mehr. Die iterative Bestimmung der Toleranzgruppengrenzen terminiert in diesem Falle. Nicht ber¨ucksichtigt wird bei beiden Zielformulierungen @ und @ der Aspekt, daß aus Gr¨unden der Realisierbarkeit die Dimension der Toleranzgruppenbildungen m¨oglichst klein gehalten werden sollte. Als Anforderungen an das System der Nebenbedingungen dienen die Einhaltung der zul¨assigen Funktionstoleranz, die mengenm¨aßige Gleichheit der Toleranzgruppen und die Minimierung nicht verwendbarer Bauteile durch Maximierung der ersten Toleranzgruppe [2]. Die Einhaltung der zul¨assigen Funktionstoleranz kann operationalisiert werden als 8
4
7 9
7 4
7
9
8
7
### 9
4 8
7
7
F
* + -4/
)
1
; 1
1
1
;
###
) ;
*
+.-4/
?
(7)
Die Operationalisierung der mengenma¨ ßigen Gleichheit der Toleranzgruppen lautet 8
4657
!
4 7 8
